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数学证明3(1 / 1)

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有关数学公式的证明很多,下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。(1自然数的立方和=自然数之和的平方上述等式的左边为自然数的立方和,等式的右边为自然数之和的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式,但通过如下的图形很直观地就能证明上式:把自然数立方和的图形平铺看来,其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方,所以就能证明上述等式成立。(2勾股定理这个公式为勾股定理,我国在商朝时就已经发现了直角三角形的一个特例——勾三股四玄五,后来的中外数学家通过各种方法来证明这个公式。下面要介绍的是加菲尔德证法的变形方法,这可以很容易证明勾股定理:大正方形的面积为:(a+b)^2大正方形的面积也等于四个三角形的面积以及小正方形的面积之和:4x(1/2ab)+c^2由此可得下式:(a+b)^2=4x(1/2ab)+c^2化简之后,即可得勾股定理:a^2+b^2=c^2(3欧拉恒等式这个公式就是著名的欧拉恒等式,它被誉为最美的数学公式。一个十分简单的公式就结合了数学中最重要的常数——自然常数e、虚数单位i、圆周率π、自然数1、自然数,以及最重要的数学符号——加号+、等号=。欧拉恒等式源自于如下的欧拉公式:对欧拉公式的左边e^(iθ)进行泰勒展开可得:再分别对cosθ和sinθ进行泰勒展开可得:显然,cosθ与sinθ之和刚好等于e^(iθ),由此就能证明欧拉公式成立。再令欧拉公式中的θ=π,即可得下式:e^(iπ)=-1+对上式进行移项,最终就可以推导出欧拉恒等式的常见形式。(4证明圆周率是无理数虽然人类早在三千多年前就已使用圆周率,但直到两百多年前,数学家才首次证明圆周率是一个无理数。圆周率是无理数的证明方法不少,下面要介绍的是数学家ivanmniven给出的反证法,这种方法简单而又巧妙。倘若π为有理数,必然存在整数a和b,使得下式成立:

π=a/b构造如下两个函数:其中n为正整数。显然,f^k()、f^k(π)、f()以及f(π)都为整数。而且f(x)和f^k(x)都会满足f(x)=f(π-x),它们都在x=以及x=π处可积。再构造函数g(x)=f'(x)sinx-f(x)cosx,并对其进行求导可得:对上式两边从到π都进行积分可得下式:因为f()以及f(π)都为整数,故f(π)+f()亦是整数。当x∈(,π)时,显然有f(x)>且sinx>,故f(x)sinx>,所以f(π)+f()>,并且f(x)sinx在[,π]上的积分为正整数。当x∈(,π)时,显然有a-bx

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数学中有哪些巧妙的证明过程?

有关数学公式的证明很多,下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。

(1自然数的立方和=自然数之和的平方

上述等式的左边为自然数的立方和,等式的右边为自然数之和的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式,但通过如下的图形很直观地就能证明上式:

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把自然数立方和的图形平铺看来,其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方,所以就能证明上述等式成立

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